充電器をシガーソケットに接続したままエンジンをかけても問題ないですか。

DC充電器をソケットに差したまま、エンジンのON／OFFを行っても問題はありません。
なお、負荷が大きいPCなどを接続されている場合は、シガーソケットからDC充電器を（DC充電器からPCを）外すことを推奨しています。